Analysis Beispiele

$\frac{a x + b}{a^{2} x^{2} + b^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ gleich $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ ist mit $f (b) = a x + b$ und $g (b) = a^{2} x^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x + b$ nach $b$ $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $a x$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $a x$ bezüglich $b$ gleich $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ gleich $n b^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} x^{2} + b^{2}$ nach $b$ $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Da $a^{2} x^{2}$ konstant bezüglich $b$ ist, ist die Ableitung von $a^{2} x^{2}$ bezüglich $b$ gleich $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ gleich $n b^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + 2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $0$ und $2 b$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 + (- (a x) - b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b \cdot b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.5.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 (b \cdot b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 b^{2}$ von $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} x^{2} - b^{2} - 2 a x b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- b^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- b^{2}$ heraus.

$\frac{- (b^{2}) + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $a^{2} x^{2}$ heraus.

$\frac{- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2})$ heraus.

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 a b x$ heraus.

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)$ heraus.

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.11

Schreibe $- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ als $- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ um.

$\frac{- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$