Analysis Beispiele

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere $8$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 10

Faktorisiere $2$ aus $24 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Dividiere $12 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 13.1.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 13.1.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $8 x^{\frac{3}{2}}$ von $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Schritt 13.2

Vereine die Terme

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Schritt 13.2.1

Bringe $x^{\frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Schritt 13.2.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$