Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 5.2.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.6.3

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $8 x^{5}$ von $16 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{5} + 16 x^{3}$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (1)$ heraus.

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Wende die Produktregel auf $4 (x^{2} + 1)$ an.

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ heraus.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Schritt 5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$