Analysis Beispiele

$- \frac{y + 1}{x - 1}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Quotientenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $- (y + 1)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y + 1}{x - 1}$ nach $x$ gleich $- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ .

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{- 1}$ um.

$- (y + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$- (y + 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- (y + 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$- (y + 1) (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $y + 1$ mit $1$ .

$(y + 1) ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Schritt 4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $y + 1$ mit $1$ .

$(y + 1) {(x - 1)}^{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(y + 1) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $y + 1$ mit $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{{(x - 1)}^{2}}$