Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{{(3 + x)}^{7}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(3 + x)}^{7}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{7}]}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 3 + x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [3 + x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \frac{d}{d x} [x])}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6} \cdot 1)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{7} (2 x) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6} x$ aus ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6} x$ aus ${(3 + x)}^{7} \cdot 2 x$ heraus.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) - x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6} x$ aus $- x^{2} (7 {(3 + x)}^{6})$ heraus.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6} x$ aus ${(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2) + {(3 + x)}^{6} x (- x \cdot 7)$ heraus.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - x \cdot 7)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x ((3 + x) \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (3 \cdot 2 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + x \cdot 2 - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 + 2 x - 7 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $7 x$ von $2 x$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{({(3 + x)}^{7})}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 + x)}^{7})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{7 \cdot 2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{{(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{14}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 + x)}^{6}$ und ${(3 + x)}^{14}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6}$ aus ${(3 + x)}^{6} x (6 - 5 x)$ heraus.

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{14}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.2.1

Faktorisiere ${(3 + x)}^{6}$ aus ${(3 + x)}^{14}$ heraus.

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(3 + x)}^{6} (x (6 - 5 x))}{{(3 + x)}^{6} {(3 + x)}^{8}}$

Schritt 5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(3 + x)}^{8}}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{x (6 - 5 x)}{{(x + 3)}^{8}}$