Analysis Beispiele

$p = \frac{600 x}{100 + x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 600 x$ und $g (x) = 100 + x^{2}$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \frac{d}{d x} [600 x] - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $600$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $600 x$ nach $x$ gleich $600 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(100 + x^{2}) (600 \frac{d}{d x} [x]) - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(100 + x^{2}) (600 \cdot 1) - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $600$ mit $1$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x \frac{d}{d x} [100 + x^{2}]}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (0 + 2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Addiere $0$ und $2 x$ .

$\frac{(100 + x^{2}) \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{100 \cdot 600 + x^{2} \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $100$ mit $600$ .

$\frac{60000 + x^{2} \cdot 600 - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Bringe $600$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{60000 + 600 \cdot x^{2} - 1 \cdot 600 x (2 x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 x \cdot x}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1 \cdot 600 \cdot 2 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 1 \cdot 600 \cdot 2$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $600$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 600 \cdot 2 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 600$ mit $2$ .

$\frac{60000 + 600 x^{2} - 1200 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1200 x^{2}$ von $600 x^{2}$ .

$\frac{60000 - 600 x^{2}}{{(100 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 600 x^{2} + 60000}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $600$ aus $- 600 x^{2} + 60000$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $600$ aus $- 600 x^{2}$ heraus.

$\frac{600 (- x^{2}) + 60000}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $600$ aus $60000$ heraus.

$\frac{600 (- x^{2}) + 600 (100)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $600$ aus $600 (- x^{2}) + 600 (100)$ heraus.

$\frac{600 (- x^{2} + 100)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{600 (- x^{2} + 10^{2})}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Stelle $- x^{2}$ und $10^{2}$ um.

$\frac{600 (10^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10$ und $b = x$ .

$\frac{600 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$