Analysis Beispiele

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 8$ und $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 2.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2} e^{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 6.4

Stelle die Faktoren in $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ um.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{2} e^{x}$ an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.2

Wende die Produktregel auf $5 x^{2}$ an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3

Multipliziere $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.4.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.4.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 7.4.1.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1.4.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.1.8

Mutltipliziere $10$ mit $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.1.4.2

Subtrahiere $40 x^{2} e^{x}$ von $- 10 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.4.2

Subtrahiere $50 x^{2} e^{x}$ von $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5

Vereine die Terme

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Schritt 7.5.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 7.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

Schritt 7.5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 7.5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

Schritt 7.5.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

Schritt 7.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.7.1

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ heraus.

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Schritt 7.7.1.1

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $- 45 e^{x} x^{2}$ heraus.

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7.1.2

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $- 5 e^{x} x^{3}$ heraus.

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7.1.3

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $- 80 e^{x} x$ heraus.

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7.1.4

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ heraus.

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7.1.5

Faktorisiere $5 e^{x} x$ aus $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ heraus.

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 7.8.1

Faktorisiere $5$ aus $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ heraus.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25 e^{2 x} x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Schritt 7.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Schritt 7.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 7.9.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Schritt 7.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.9.2.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $5 e^{2 x} x^{4}$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Schritt 7.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Schritt 7.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

Schritt 7.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 7.10.1

Faktorisiere $x$ aus $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ heraus.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

Schritt 7.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.10.2.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Schritt 7.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Schritt 7.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Schritt 7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Schritt 7.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (9 x)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Schritt 7.14

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

Schritt 7.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Schritt 7.16

Schreibe $- (x^{2} + 9 x + 16)$ als $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ um.

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Schritt 7.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$