Analysis Beispiele

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = \sqrt{t}$ und $g (t) = 2 t - 5$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 t - 5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 10

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 10.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 11.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 11.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.3

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.4

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.2.4.1.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.4.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Um $t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.4.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.4.3

Vereinfache $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.5

Um $- 2 \sqrt{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.6

Kombiniere $- 2 \sqrt{t}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.8.1

Multipliziere $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Schritt 12.3.8.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.8.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.2

Vereinfache.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.3.8.3

Subtrahiere $4 t$ von $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{- (2 t) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.7

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{- (2 t) - 1 (5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.9

Schreibe $- (2 t + 5)$ als $- 1 (2 t + 5)$ um.

$\frac{- 1 (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Schritt 12.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 t + 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$