Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ und $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{6} - 6 x^{8}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ .

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{6}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $6$ mit $8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{8}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 6$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.2.1

Bewege $x^{7}$ .

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.2.3

Addiere $7$ und $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.4.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.4.3

Addiere $5$ und $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.5

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.5.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.5.3

Addiere $3$ und $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.8

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.4.1.8.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.8.3

Addiere $3$ und $8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.2

Addiere $- 48 x^{11}$ und $24 x^{11}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.4.3

Subtrahiere $32 x^{9}$ von $48 x^{9}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 6.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 6.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $8 x^{9}$ aus $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $8 x^{9}$ aus $- 24 x^{11}$ heraus.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $8 x^{9}$ aus $16 x^{9}$ heraus.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $8 x^{9}$ aus $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ heraus.

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{9}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ heraus.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

Schritt 6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

Schritt 6.7.2.4

Dividiere $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ durch $1$ .

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

Schritt 6.8

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

Schritt 6.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

Schritt 6.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.11.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.11.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

Schritt 6.11.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

Schritt 6.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

Schritt 6.11.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

Schritt 6.11.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$- 24 x^{3} + 16 x$