Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{{(4 x - 3)}^{8}}$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{{(4 (1) - 3)}^{8}}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$y = \frac{1}{{(4 - 3)}^{8}}$

Schritt 1.2.2.1.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$y = \frac{1}{1^{8}}$

Schritt 1.2.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(4 x - 3)}^{8}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{({(4 x - 3)}^{8})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 3)}^{8})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{8 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere ${(4 x - 3)}^{8}$ mit $1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 3)}^{8}]}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{8}$ und $g (x) = 4 x - 3$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 3$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - x (8 {(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere ${(4 x - 3)}^{7}$ aus ${(4 x - 3)}^{8} - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ heraus.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere ${(4 x - 3)}^{7}$ aus ${(4 x - 3)}^{8}$ heraus.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) - 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere ${(4 x - 3)}^{7}$ aus $- 8 x ({(4 x - 3)}^{7} \frac{d}{d x} [4 x - 3])$ heraus.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.4.2.3

Faktorisiere ${(4 x - 3)}^{7}$ aus ${(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3) + {(4 x - 3)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))$ heraus.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{16}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere ${(4 x - 3)}^{7}$ aus ${(4 x - 3)}^{16}$ heraus.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(4 x - 3)}^{7} (4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3]))}{{(4 x - 3)}^{7} {(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x - 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.11

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.11.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4 x - 3 - 8 x \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$\frac{4 x - 3 - 32 x}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.11.3

Subtrahiere $32 x$ von $4 x$ .

$\frac{- 28 x - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 28 x$ heraus.

$\frac{- (28 x) - 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.12.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (28 x) - 1 (3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (28 x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.12.4

Schreibe $- (28 x + 3)$ als $- 1 (28 x + 3)$ um.

$\frac{- 1 (28 x + 3)}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{28 x + 3}{{(4 x - 3)}^{9}}$

Schritt 2.13

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{28 (1) + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Schritt 2.14

Vereinfache.

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Schritt 2.14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.14.1.1

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$- \frac{28 + 3}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Schritt 2.14.1.2

Addiere $28$ und $3$ .

$- \frac{31}{{(4 (1) - 3)}^{9}}$

Schritt 2.14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.14.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{31}{{(4 - 3)}^{9}}$

Schritt 2.14.2.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- \frac{31}{1^{9}}$

Schritt 2.14.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{31}{1}$

Schritt 2.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.14.3.1

Dividiere $31$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 31$

Schritt 2.14.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $31$ .

$- 31$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- 31$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - 31 \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- 31 \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - 31 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - 31 \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - 31 x - 31 \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 31$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - 31 x + 31$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 31 x + 31 + 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $31$ und $1$ .

$y = - 31 x + 32$

Schritt 4