Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \tan (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Setze $\frac{π}{3}$ für $x$ ein.

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Schritt 1.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = \frac{π}{3}$ und $y = 5 \sqrt{3}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \tan (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x)$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung bei $x = \frac{π}{3}$ .

$5 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{3})$ ist $2$ .

$5 \cdot 2^{2}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$5 \cdot 4$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Benutze die Steigung $20$ und einen gegebenen Punkt $(\frac{π}{3}, 5 \sqrt{3})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5 \sqrt{3}) = 20 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $20 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 5 \sqrt{3} = 0 + 0 + 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + 20 (- \frac{π}{3})$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $20 (- \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - 20 \frac{π}{3}$

Schritt 3.3.1.4.2

Kombiniere $- 20$ und $\frac{π}{3}$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + \frac{- 20 π}{3}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - \frac{20 π}{3}$

Schritt 3.3.2

Addiere $5 \sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Um $5 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.3.3.2

Kombiniere $5 \sqrt{3}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + \frac{5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Schritt 3.3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 15 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 20 π$ heraus.

$y = 20 x + \frac{- (20 π) + 15 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $15 \sqrt{3}$ heraus.

$y = 20 x + \frac{- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})$ heraus.

$y = 20 x + \frac{- (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.8

Schreibe $- (20 π - 15 \sqrt{3})$ als $- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})$ um.

$y = 20 x + \frac{- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 3.3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = 20 x - \frac{20 π - 15 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4