Analysis Beispiele

$\arctan (2 x - x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Schritt 1.1.2.7.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ um.

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 - 2 x$ gleich $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 2$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 2$ .

$x = 1$

Schritt 2.4

Setze $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\arctan (2 x - x^{2})$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Schritt 4.1.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\arctan (1)$

Schritt 4.1.2.3

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(1, \frac{π}{4})$

Schritt 5