Analysis Beispiele

$x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 6 (2 x)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} - 12 x$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ mit $2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 12 x = 0$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot 2 - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{\frac{3}{2}} - 12 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0 \cdot 2$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{\frac{3}{2}} - 24 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) - 24 x = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 24 x$ heraus.

$x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24 = 0$

Schritt 2.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (5 x^{\frac{1}{2}}) + x \cdot - 24$ heraus.

$x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Schritt 2.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.6

Setze $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $5 x^{\frac{1}{2}} - 24$ gleich $0$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $5 x^{\frac{1}{2}} - 24 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{\frac{1}{2}} = 24$

Schritt 2.6.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.3.1.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$5^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$25 x^{1} = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$25 x = 24^{2}$

Schritt 2.6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.6.2.3.2.1

Potenziere $24$ mit $2$ .

$25 x = 576$

Schritt 2.6.2.4

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 576$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 2.6.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x = 576$ durch $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Schritt 2.6.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.6.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.6.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x}{25} = \frac{576}{25}$

Schritt 2.6.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{576}{25}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (5 x^{\frac{1}{2}} - 24) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{576}{25}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{5 \sqrt{x^{3}}}{2} - 12 x$

Schritt 3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 4

Werte $x^{\frac{5}{2}} - 6 x^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

${(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{2 (\frac{5}{2})} - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{5} - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2}$

Schritt 4.1.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 6 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{576}{25}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{576}{25}$ .

${(\frac{576}{25})}^{\frac{5}{2}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{576}{25}$ an.

$\frac{576^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$\frac{{(24^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{24^{5}}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2.4

Potenziere $24$ mit $5$ .

$\frac{7962624}{25^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{7962624}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7962624}{5^{2 (\frac{5}{2})}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7962624}{5^{5}} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Potenziere $5$ mit $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 {(\frac{576}{25})}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{576}{25}$ an.

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{576^{2}}{25^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $576$ mit $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 \frac{331776}{25^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.6

Potenziere $25$ mit $2$ .

$\frac{7962624}{3125} - 6 (\frac{331776}{625})$

Schritt 4.2.2.1.7

Multipliziere $- 6 (\frac{331776}{625})$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{331776}{625}$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 6 \cdot 331776}{625}$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $331776$ .

$\frac{7962624}{3125} + \frac{- 1990656}{625}$

Schritt 4.2.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625}$

Schritt 4.2.2.2

Um $- \frac{1990656}{625}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656}{625} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3125$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1990656}{625}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $625$ mit $5$ .

$\frac{7962624}{3125} - \frac{1990656 \cdot 5}{3125}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7962624 - 1990656 \cdot 5}{3125}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1990656$ mit $5$ .

$\frac{7962624 - 9953280}{3125}$

Schritt 4.2.2.5.2

Subtrahiere $9953280$ von $7962624$ .

$\frac{- 1990656}{3125}$

Schritt 4.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1990656}{3125}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (\frac{576}{25}, - \frac{1990656}{3125})$

Schritt 5