Analysis Beispiele

$\sin (6 x) + \cos (6 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 x$ .

$\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (6 x) (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\cos (6 x) \cdot 6 + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.2.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 6 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $6 x$ .

$6 \cos (6 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $6 x$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) (6 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 \cos (6 x) - \sin (6 x) \cdot 6$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 \cos (6 x) - 6 \sin (6 x) = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (6 x)$ .

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (6 x)$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cos (6 x)}{\cos (6 x)} + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.4

Separiere Brüche.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.5

Wandle von $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ nach $\tan (6 x)$ um.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.6

Dividiere $- 6$ durch $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.7

Separiere Brüche.

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (6 x)}$

Schritt 2.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (6 x)}$ nach $\sec (6 x)$ um.

$6 - 6 \tan (6 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (6 x)$

Schritt 2.9

Dividiere $0$ durch $1$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0 \sec (6 x)$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (6 x)$ .

$6 - 6 \tan (6 x) = 0$

Schritt 2.11

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 \tan (6 x) = - 6$

Schritt 2.12

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \tan (6 x) = - 6$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \tan (6 x) = - 6$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Schritt 2.12.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 2.12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \tan (6 x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Schritt 2.12.2.1.2

Dividiere $\tan (6 x)$ durch $1$ .

$\tan (6 x) = \frac{- 6}{- 6}$

Schritt 2.12.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.12.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 6$ .

$\tan (6 x) = 1$

Schritt 2.13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$6 x = \arctan (1)$

Schritt 2.14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.14.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$6 x = \frac{π}{4}$

Schritt 2.15

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{4}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{π}{4}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Schritt 2.15.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Schritt 2.15.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{6}$

Schritt 2.15.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.15.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 2.15.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 2.15.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.15.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \frac{π}{24}$

Schritt 2.16

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$6 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 2.17

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.17.1

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$6 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.17.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$6 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 2.17.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 2.17.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 2.17.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$6 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 2.17.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 2.17.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.17.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Schritt 2.17.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.17.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.17.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Schritt 2.17.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{6}$

Schritt 2.17.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.17.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 2.17.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{6}$ .

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Schritt 2.17.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Schritt 2.17.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Schritt 2.18

Ermittele die Periode von $\tan (6 x)$ .

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Schritt 2.18.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.18.2

Ersetze $b$ durch $6$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 6 |}$

Schritt 2.18.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $6$ ist $6$ .

$\frac{π}{6}$

Schritt 2.19

Die Periode der Funktion $\tan (6 x)$ ist $\frac{π}{6}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{6}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{6}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{6}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\sin (6 x) + \cos (6 x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{24}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{24}$ .

$\sin (6 (\frac{π}{24})) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$\sin (6 \frac{π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (6 \frac{π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Schritt 4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{π}{24}))$

Schritt 4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 (4)})$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{π}{6 \cdot 4})$

Schritt 4.1.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.1.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.1.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{5 π}{24}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5 π}{24}$ .

$\sin (6 (\frac{5 π}{24})) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$\sin (6 \frac{5 π}{6 (4)}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (\frac{5 π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 (\frac{5 π}{24}))$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Faktorisiere $6$ aus $24$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 (4)})$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (6 \frac{5 π}{6 \cdot 4})$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4.2.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 4.2.2.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{24} + \frac{π n}{3}, \sqrt{2}), (\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{3}, - \sqrt{2})$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5