Analysis Beispiele

$- 6 \csc (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \csc (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 6 (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 1.1.3.2

Stelle die Faktoren von $6 \csc (x) \cot (x)$ um.

$f' (x) = 6 \cot (x) \csc (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 \cot (x) \csc (x)$ .

$6 \cot (x) \csc (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 \cot (x) \csc (x) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Schritt 2.3

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.4.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 2.3.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 2.3.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 2.3.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 2.3.2.5

Ermittele die Periode von $\cot (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.3.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.3.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.3.2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.3.2.6

Die Periode der Funktion $\cot (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

Schritt 2.4.2

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze das Argument in $\cot (x)$ gleich $π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Werte $- 6 \csc (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$- 6 \csc (\frac{π}{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 6 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$- 6$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$- 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosekans im vierten Quadranten negativ ist.

$- 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Schritt 4.2.2.2

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- 6 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2.3

Multipliziere $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 6 \cdot - 1$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$6$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, - 6), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 6)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5