Analysis Beispiele

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 1.1.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Schritt 2.2

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$6 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 2.4

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Ersetze die $- 4 \sin^{2} (x)$ durch $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$6 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$6 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$6 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Schritt 2.4.4

Stelle das Polynom um.

$4 \cos^{2} (x) + 6 \cos (x) - 2 = 0$

Schritt 2.4.5

Ersetze $\cos (x)$ durch $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) - 2 = 0$

Schritt 2.4.6

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2} + 6 u - 2$ heraus.

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Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 u^{2}$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 6 u - 2 = 0$

Schritt 2.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6 u$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) - 2 = 0$

Schritt 2.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 2.4.6.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ heraus.

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 2.4.6.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Schritt 2.4.7

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 u^{2} + 3 u - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 u^{2} + 3 u - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.7.2.1.2

Dividiere $2 u^{2} + 3 u - 1$ durch $1$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 2.4.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.7.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

Schritt 2.4.8

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.9

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 3$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.10

Vereinfache.

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Schritt 2.4.10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.10.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.10.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.10.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.11.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.11.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.11.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.11.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$u = \frac{- 3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.11.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.11.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{17}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{17})}{4}$

Schritt 2.4.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{17})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (3 - \sqrt{17})}{4}$

Schritt 2.4.11.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.12

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.12.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.12.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.4.12.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.12.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.12.1.3

Addiere $9$ und $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.4.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.12.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$u = \frac{- 3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.12.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{17}$ heraus.

$u = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{17})}{4}$

Schritt 2.4.12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (\sqrt{17})$ heraus.

$u = \frac{- 1 (3 + \sqrt{17})}{4}$

Schritt 2.4.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.13

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.14

Ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.15

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Schritt 2.4.16

Löse in $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.16.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Schritt 2.4.16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.16.2.1

Berechne $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 1.28619336$

Schritt 2.4.16.3

Die Cosinus-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Schritt 2.4.16.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.16.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 2 (3.14159265) - 1.28619336$

Schritt 2.4.16.4.2

Vereinfache $2 (3.14159265) - 1.28619336$ .

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Schritt 2.4.16.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.28619336$

Schritt 2.4.16.4.2.2

Subtrahiere $1.28619336$ von $6.2831853$ .

$x = 4.99699194$

Schritt 2.4.16.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.4.16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 2.4.16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 2.4.16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 2.4.16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 2.4.16.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.4.17

Löse in $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.17.1

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 2.4.18

Liste alle Lösungen auf.

$x = 1.28619336 + 2 π n, 4.99699194 + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 1.28619336$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2 (1.28619336))$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1.28619336$ .

$6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4.99699194$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (2 (4.99699194))$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4.99699194$ .

$6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 4.99699194 + 2 π$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $4.99699194 + 2 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 2 π) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Schritt 4.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $4.99699194$ und $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 (4.99699194 + 2 π))$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $4.99699194$ und $2 π$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (2 \cdot 11.28017724)$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $11.28017724$ .

$6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = 4.99699194 + 4 π$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $4.99699194 + 4 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 4 π) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Schritt 4.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $4.99699194$ und $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 (4.99699194 + 4 π))$

Schritt 4.4.2.2

Addiere $4.99699194$ und $4 π$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (2 \cdot 17.56336255)$

Schritt 4.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $17.56336255$ .

$6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)$

Schritt 4.5

Berechne bei $x = 4.99699194 + 6 π$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze $x$ durch $4.99699194 + 6 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 6 π) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Schritt 4.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $4.99699194$ und $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 (4.99699194 + 6 π))$

Schritt 4.5.2.2

Addiere $4.99699194$ und $6 π$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (2 \cdot 23.84654786)$

Schritt 4.5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $23.84654786$ .

$6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)$

Schritt 4.6

Berechne bei $x = 4.99699194 + 8 π$ .

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Schritt 4.6.1

Ersetze $x$ durch $4.99699194 + 8 π$ .

$6 \sin (4.99699194 + 8 π) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Schritt 4.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.2.1

Addiere $4.99699194$ und $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 (4.99699194 + 8 π))$

Schritt 4.6.2.2

Addiere $4.99699194$ und $8 π$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (2 \cdot 30.12973317)$

Schritt 4.6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $30.12973317$ .

$6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634)$

Schritt 4.7

Liste all Punkte auf.

$(1.28619336 + 2 π n, 6 \sin (1.28619336) + \sin (2.57238673)), (4.99699194, 6 \sin (4.99699194) + \sin (9.99398388)), (4.99699194 + 2 π, 6 \sin (11.28017724) + \sin (22.56035449)), (4.99699194 + 4 π, 6 \sin (17.56336255) + \sin (35.12672511)), (4.99699194 + 6 π, 6 \sin (23.84654786) + \sin (47.69309572)), (4.99699194 + 8 π, 6 \sin (30.12973317) + \sin (60.25946634))$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5