Analysis Beispiele

$x^{2} (114 - 4 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 114 - 4 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [114 - 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $114 - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [114] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $114$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $114$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x] + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 \cdot 1) + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x^{2} \cdot - 4 + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- 4 \cdot x^{2} + (114 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 x^{2} + (114 - 4 x) (2 x)$

Schritt 1.1.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $114 - 4 x$ .

$- 4 x^{2} + 2 \cdot (114 - 4 x) x$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} + (2 \cdot 114 + 2 (- 4 x)) x$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{2} + 2 \cdot 114 x + 2 (- 4 x) x$

Schritt 1.1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $114$ .

$- 4 x^{2} + 228 x + 2 (- 4 x) x$

Schritt 1.1.3.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x \cdot x$

Schritt 1.1.3.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x)$

Schritt 1.1.3.3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 (x^{1} x^{1})$

Schritt 1.1.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{1 + 1}$

Schritt 1.1.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- 4 x^{2} + 228 x - 8 x^{2}$

Schritt 1.1.3.3.7

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 12 x^{2} + 228 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 12 x^{2} + 228 x$ .

$- 12 x^{2} + 228 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 12 x^{2} + 228 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 12 x^{2} + 228 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x^{2} + 228 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$- 12 x \cdot x + 228 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $- 12 x$ aus $228 x$ heraus.

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 19 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $- 12 x$ aus $- 12 x (x) - 12 x (- 19)$ heraus.

$- 12 x (x - 19) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 19 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x - 19$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 19$ gleich $0$ .

$x - 19 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $19$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 19$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 12 x (x - 19) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 19$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{2} (114 - 4 x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} (114 - 4 \cdot 0)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 (114 - 4 \cdot 0)$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$0 (114 + 0)$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $114$ und $0$ .

$0 \cdot 114$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $114$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 19$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $19$ .

${(19)}^{2} (114 - 4 \cdot 19)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $19$ mit $2$ .

$361 (114 - 4 \cdot 19)$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $19$ .

$361 (114 - 76)$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $76$ von $114$ .

$361 \cdot 38$

Schritt 4.2.2.4

Mutltipliziere $361$ mit $38$ .

$13718$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (19, 13718)$

Schritt 5