Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.6

Kombiniere $\frac{- 12}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 1.1.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.3.7.2.4

Dividiere $- 4 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $\frac{17}{15}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{17}{15}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $x^{4} - 4 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} - 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Schritt 2.2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 4 u = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 4 u = 0$

Schritt 2.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 4 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 4$ heraus.

$u (u - 4) = 0$

Schritt 2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 4$ gleich $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.5.2.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.5.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.1.4

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{4}{3}$ .

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + \frac{17}{15}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $\frac{17}{15}$ .

$\frac{17}{15}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $32$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.4

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot 8$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.5

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.4.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Schritt 4.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $5$ .

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.5.1

Subtrahiere $160$ von $96$ .

$\frac{- 64 + 17}{15}$

Schritt 4.2.2.5.2

Addiere $- 64$ und $17$ .

$\frac{- 47}{15}$

Schritt 4.2.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{47}{15}$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 32$ .

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.5

Multipliziere $- \frac{4}{3} \cdot - 8$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Kombiniere $8$ und $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.1.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{32}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.5

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Schritt 4.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Schritt 4.3.2.4.2

Mutltipliziere $32$ mit $5$ .

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.5.1

Addiere $- 96$ und $160$ .

$\frac{64 + 17}{15}$

Schritt 4.3.2.5.2

Addiere $64$ und $17$ .

$\frac{81}{15}$

Schritt 4.3.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $15$ .

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Schritt 4.3.2.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$\frac{3 (27)}{15}$

Schritt 4.3.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Schritt 4.3.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Schritt 4.3.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27}{5}$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

Schritt 5