Analysis Beispiele

$\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{12 x^{2} - 16 x - 7}{{(3 x - 1)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 12 x^{2} - 16 x - 7$ und $g (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{({(3 x - 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [12 x^{2} - 16 x - 7] - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{2} - 16 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{2}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.6

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.8

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.9

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16 + 0) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $24 x - 16$ und $0$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}]}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 u \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - (12 x^{2} - 16 x - 7) (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{{(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2

Faktorisiere $3 x - 1$ aus ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.2.1

Faktorisiere $3 x - 1$ aus ${(3 x - 1)}^{2} (24 x - 16)$ heraus.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.2

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) ((3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1])$ heraus.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.3

Faktorisiere $3 x - 1$ aus $(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16)) + (3 x - 1) (- 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))$ heraus.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{{(3 x - 1)}^{4}}$

Schritt 1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.6.1

Faktorisiere $3 x - 1$ aus ${(3 x - 1)}^{4}$ heraus.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \frac{(3 x - 1) ((3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1]))}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x - 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.12

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.12.1

Addiere $3$ und $0$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 2 (12 x^{2} - 16 x - 7) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$4 \frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.12.3

Kombiniere $4$ und $\frac{(3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2} - 16 x - 7))}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16) - 6 (12 x^{2}) - 6 (- 16 x) - 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((3 x - 1) (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.1

Multipliziere $(3 x - 1) (24 x - 16)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x (24 x - 16) - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x - 16)) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (3 x (24 x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 (3 \cdot 24 x \cdot x + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (3 \cdot 24 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $24$ .

$\frac{4 (72 x^{2} + 3 x \cdot - 16 - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $3$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 1 (24 x) - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x - 1 \cdot - 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 48 x - 24 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.2.2

Subtrahiere $24 x$ von $- 48 x$ .

$\frac{4 (72 x^{2} - 72 x + 16) + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (72 x^{2}) + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.4.1

Mutltipliziere $72$ mit $4$ .

$\frac{288 x^{2} + 4 (- 72 x) + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 4 \cdot 16 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 6 (12 x^{2})) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 + 4 (- 72 x^{2}) + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.6

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (- 6 (- 16 x)) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.7

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 6$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 4 (96 x) + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.8

Mutltipliziere $96$ mit $4$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 (- 6 \cdot - 7)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.9

Multipliziere $4 (- 6 \cdot - 7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.1.9.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 7$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 4 \cdot 42}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.1.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $42$ .

$\frac{288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $288 x^{2} - 288 x + 64 - 288 x^{2} + 384 x + 168$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.3.2.1

Subtrahiere $288 x^{2}$ von $288 x^{2}$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 0 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.2.2

Addiere $- 288 x + 64$ und $0$ .

$\frac{- 288 x + 64 + 384 x + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.3

Addiere $- 288 x$ und $384 x$ .

$\frac{96 x + 64 + 168}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.3.4

Addiere $64$ und $168$ .

$\frac{96 x + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.4

Faktorisiere $8$ aus $96 x + 232$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.13.4.1

Faktorisiere $8$ aus $96 x$ heraus.

$\frac{8 (12 x) + 232}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.4.2

Faktorisiere $8$ aus $232$ heraus.

$\frac{8 (12 x) + 8 (29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.1.13.4.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (12 x) + 8 (29)$ heraus.

$f' (x) = \frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 (12 x + 29) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (12 x + 29) = 0$ durch $8$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8 (12 x + 29) = 0$ durch $8$ .

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 (12 x + 29)}{8} = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $12 x + 29$ durch $1$ .

$12 x + 29 = \frac{0}{8}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8$ .

$12 x + 29 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $29$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x = - 29$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 29$ durch $12$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 x = - 29$ durch $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 29}{12}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 29}{12}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{29}{12}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{8 (12 x + 29)}{{(3 x - 1)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(3 x - 1)}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Werte $\frac{4 (12 x^{2} - 16 x - 7)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{29}{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{29}{12}$ .

$\frac{4 (12 {(- \frac{29}{12})}^{2} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{29}{12}$ an.

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{29}{12})}^{2}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{29}{12}$ an.

$\frac{4 (12 ({(- 1)}^{2} \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 (12 (1 \frac{29^{2}}{12^{2}}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{29^{2}}{12^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{4 (12 \frac{29^{2}}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $29$ mit $2$ .

$\frac{4 (12 \frac{841}{12^{2}} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $12$ mit $2$ .

$\frac{4 (12 (\frac{841}{144}) - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.6.1

Faktorisiere $12$ aus $144$ heraus.

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 (12)} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (12 \frac{841}{12 \cdot 12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (- \frac{29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{29}{12}$ in den Zähler.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 16 (\frac{- 29}{12}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 (- 4) \frac{- 29}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (\frac{841}{12} + 4 \cdot - 4 \frac{- 29}{4 \cdot 3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.7.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (\frac{841}{12} - 4 (\frac{- 29}{3}) - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{- 29}{3}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{- 4 \cdot - 29}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.10

Um $\frac{116}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116}{3} \cdot \frac{4}{4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.11.1

Mutltipliziere $\frac{116}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{3 \cdot 4} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{4 (\frac{841}{12} + \frac{116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{841 + 116 \cdot 4}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.13

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.13.1

Mutltipliziere $116$ mit $4$ .

$\frac{4 (\frac{841 + 464}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.13.2

Addiere $841$ und $464$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7)}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.14

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} - 7 \cdot \frac{12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.15

Kombiniere $- 7$ und $\frac{12}{12}$ .

$\frac{4 (\frac{1305}{12} + \frac{- 7 \cdot 12}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \frac{1305 - 7 \cdot 12}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.17

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.17.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $12$ .

$\frac{4 \frac{1305 - 84}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.17.2

Subtrahiere $84$ von $1305$ .

$\frac{4 (\frac{1221}{12})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1221$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.18.1

Faktorisiere $3$ aus $1221$ heraus.

$\frac{4 \frac{3 (407)}{12}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.18.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \frac{3 \cdot 407}{3 \cdot 4}}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (- \frac{29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{29}{12}$ in den Zähler.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 (\frac{- 29}{12}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 (4)} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(3 \frac{- 29}{3 \cdot 4} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29}{4} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{29}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 1 \cdot 4}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 29 - 4}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 29$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(\frac{- 33}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- \frac{33}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.8

Wende die Produktregel auf $- \frac{33}{4}$ an.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{{(- 1)}^{2} {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 {(\frac{33}{4})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.10

Wende die Produktregel auf $\frac{33}{4}$ an.

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.11

Potenziere $33$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 \frac{1089}{4^{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.12

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{1 (\frac{1089}{16})}$

Schritt 4.1.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{1089}{16}$ mit $1$ .

$\frac{4 (\frac{407}{4})}{\frac{1089}{16}}$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{407}{4}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 407}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $407$ .

$\frac{\frac{1628}{4}}{\frac{1089}{16}}$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Dividiere $1628$ durch $4$ .

$\frac{407}{\frac{1089}{16}}$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$407 (\frac{16}{1089})$

Schritt 4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Faktorisiere $11$ aus $407$ heraus.

$11 (37) \frac{16}{1089}$

Schritt 4.1.2.5.2

Faktorisiere $11$ aus $1089$ heraus.

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Schritt 4.1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$11 \cdot 37 \frac{16}{11 \cdot 99}$

Schritt 4.1.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$37 (\frac{16}{99})$

Schritt 4.1.2.6

Kombiniere $37$ und $\frac{16}{99}$ .

$\frac{37 \cdot 16}{99}$

Schritt 4.1.2.7

Mutltipliziere $37$ mit $16$ .

$\frac{592}{99}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{{(1 - 1)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Schritt 4.2.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{4 (12 {(\frac{1}{3})}^{2} - 16 (\frac{1}{3}) - 7)}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{29}{12}, \frac{592}{99})$

Schritt 5