Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere.

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Schritt 1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.9.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.3.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.3.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.5

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 1.4.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- x) + x \cdot 2$ heraus.

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.7

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.9

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 1.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Schritt 3

Mutltipliziere $0.4$ mit $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $0.4$ von $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Schritt 4.3

Potenziere $0.6$ mit $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Schritt 5.2

Dividiere $- 0.64$ durch $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$