Analysis Beispiele

$f (x) = {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ , $x = 1$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 10 x - 9$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $10 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.6.3

Bringe ${(10 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 x - 9]$

Schritt 1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.11

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0)$

Schritt 1.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.12.1

Addiere $10$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10$

Schritt 1.12.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{10}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.12.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{{(10 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{5}{{(10 (1) - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{5}{{(10 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9$ von $10$ .

$f' (1) = \frac{5}{1^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{5}{1}$

Schritt 4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$f' (1) = 5$