Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} + 2$ , $(5, 27)$

Schritt 1

Prüfe, ob sich der gegebene Punkt auf dem Graphen der gegebenen Funktion befindet.

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Schritt 1.1

Berechne $f (x) = x^{2} + 2$ bei $x = 5$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = {(5)}^{2} + 2$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (5) = 25 + 2$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $25$ und $2$ .

$f (5) = 27$

Schritt 1.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 1.2

Da $27 = 27$ , liegt der Punkt auf dem Graph.

Der Punkt liegt auf dem Graphen

Schritt 2

Die Steigung der Tangente ist die Ableitung des Ausdrucks.

$m$ $=$ Die Ableitung von $f (x) = x^{2} + 2$

Schritt 3

Betrachte die Grenzwertdefinition der Ableitung.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 4

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 4.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 2$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 2$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 2$

Schritt 4.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 2$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 2$

Schritt 4.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2$

Schritt 4.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2$

Schritt 4.2

Stelle um.

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Schritt 4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 2$

Schritt 4.2.2

Stelle $2 h x$ und $h^{2}$ um.

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2$

Schritt 4.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2$

$f (x) = x^{2} + 2$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2$

$f (x) = x^{2} + 2$

Schritt 5

Setze die Komponenten ein.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 - (x^{2} + 2)}{h}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 - x^{2} - 1 \cdot 2}{h}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 2 - x^{2} - 2}{h}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0 + 2 - 2}{h}$

Schritt 6.1.4

Addiere $h^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 2 - 2}{h}$

Schritt 6.1.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Schritt 6.1.6

Addiere $h^{2} + 2 h x$ und $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x}{h}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $h$ aus $h^{2} + 2 h x$ heraus.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $h^{2}$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x}{h}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $2 h x$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x)}{h}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $h (h) + h (2 x)$ heraus.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x)}{h}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $h + 2 x$ durch $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x$

Schritt 6.2.2

Stelle $h$ und $2 x$ um.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $h$ sich an $0$ annähert.

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $2 x$ , welcher konstant ist, wenn $h$ sich $0$ annähert.

$2 x + lim_{h \to 0} h$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $h$ durch Einsetzen von $0$ für $h$ .

$2 x + 0$

Schritt 9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 10

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$m = 10$

Schritt 11

Die Steigung ist $m = 10$ und der Punkt ist $(5, 27)$ .

$m = 10, (5, 27)$

Schritt 12

Ermittle den Wert von $b$ unter Anwendung der Geradengleichung.

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Schritt 12.1

Wende die Formel für die Geradengleichung an, um $b$ zu ermitteln.

$y = m x + b$

Schritt 12.2

Setze den Wert von $m$ in die Gleichung ein.

$y = (10) \cdot x + b$

Schritt 12.3

Setze den Wert von $x$ in die Gleichung ein.

$y = (10) \cdot (5) + b$

Schritt 12.4

Setze den Wert von $y$ in die Gleichung ein.

$27 = (10) \cdot (5) + b$

Schritt 12.5

Ermittele den Wert von $b$ .

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Schritt 12.5.1

Schreibe die Gleichung als $(10) \cdot (5) + b = 27$ um.

$(10) \cdot (5) + b = 27$

Schritt 12.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$50 + b = 27$

Schritt 12.5.3

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.5.3.1

Subtrahiere $50$ von beiden Seiten der Gleichung.

$b = 27 - 50$

Schritt 12.5.3.2

Subtrahiere $50$ von $27$ .

$b = - 23$

Schritt 13

Nun, da die Werte von $m$ (Steigung) und $b$ (Schnittpunkt mit der y-Achse) bekannt sind, setze sie in $y = m x + b$ ein, um die Gleichung der Geraden zu ermitteln.

$y = 10 x - 23$

Schritt 14