Analysis Beispiele

$f (θ) = \sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$ als ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d θ} [{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ und $g (θ) = \tan (θ) + \cot (θ)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 7.2.2

Bringe ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Schritt 7.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (θ) + \cot (θ)$ nach $θ$ $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Schritt 8

Die Ableitung von $\tan (θ)$ nach $θ$ ist $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Schritt 9

Die Ableitung von $\cot (θ)$ nach $θ$ ist $- \csc^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$

Schritt 10

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$ um.

$(\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ)) \frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}}$