Analysis Beispiele

$f (x) = {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{10}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{10}$ und $g (x) = 5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} \frac{d}{d x} [5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + 2 + 0)$

Schritt 6.2

Addiere $20 x^{3} - 6 x + 2$ und $0$ .

$10 {(5 x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1)}^{9} (20 x^{3} - 6 x + 2)$