Analysis Beispiele

$x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{3} + 18 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 2.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 x^{2}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 18 (2 x)$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 24 x^{2} + 36 x = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 36 x = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $36 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x) + 4 x (9) = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6 x)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (9) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2} - 6 x) + 4 x (9)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$4 x (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$4 x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$4 x {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.5.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 3$ .

$0, 3$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 24 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 24 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 24 {(- 1)}^{2} + 36 (- 1)$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 24 \cdot 1 + 36 (- 1)$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 24 + 36 (- 1)$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 24 - 36$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $24$ von $- 4$ .

$f' (- 1) = - 28 - 36$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $- 28$ .

$f' (- 1) = - 64$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 64$ .

$- 64$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 64$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 24 {(\frac{3}{2})}^{2} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 24 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 24 \frac{9}{2^{2}} + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 24 (\frac{9}{4}) + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $- 24$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 6) (\frac{9}{4}) + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 6 (\frac{9}{4})) + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 6 \cdot 9 + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 + 36 (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 + 2 (18) (\frac{3}{2})$

Schritt 7.2.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 + 2 \cdot (18 (\frac{3}{2}))$

Schritt 7.2.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 + 18 \cdot 3$

Schritt 7.2.1.11

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 + 54$

Schritt 7.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $- 54$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54}{1} + 54$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 54}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54}{1} \cdot \frac{2}{2} + 54$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 54}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2} + 54$

Schritt 7.2.2.4

Schreibe $54$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2} + \frac{54}{1}$

Schritt 7.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{54}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2} + \frac{54}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{54}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 \cdot 2 + 54 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.4.1

Mutltipliziere $- 54$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108 + 54 \cdot 2}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Mutltipliziere $54$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108 + 108}{2}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.5.1

Subtrahiere $108$ von $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81 + 108}{2}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 81$ und $108$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2}$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $\frac{27}{2}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, 3)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, 3)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 24 {(4)}^{2} + 36 (4)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Multipliziere $4$ mit ${(4)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.2.1.1.1

Mutltipliziere $4$ mit ${(4)}^{3}$ .

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Schritt 8.2.1.1.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 24 {(4)}^{2} + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 24 {(4)}^{2} + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.1.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 24 {(4)}^{2} + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = 256 - 24 {(4)}^{2} + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 256 - 24 \cdot 16 + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 24$ mit $16$ .

$f' (4) = 256 - 384 + 36 (4)$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$f' (4) = 256 - 384 + 144$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $384$ von $256$ .

$f' (4) = - 128 + 144$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 128$ und $144$ .

$f' (4) = 16$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 8.3

Bei $x = 4$ ist die Ableitung $16$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(3, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(3, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, 3), (3, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 10