Analysis Beispiele

$\sin (x) - x \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (x) - x \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - x \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.1.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 2.1.4.2.3

Subtrahiere $\cos (x)$ von $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Schritt 2.1.4.2.4

Addiere $x \sin (x)$ und $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x \sin (x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6

Fasse die Ergebnisse zusammen.

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Schritt 3.6.1

Führe $0$ und $2 π n$ zu $2 π n$ zusammen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3.6.2

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $π n$ .

$π n$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = x \sin (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n - 1$ .

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Schritt 6.2.2

Schreibe $- 1 \sin (π n - 1)$ als $- \sin (π n - 1)$ um.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Schritt 6.3

Bei $x = π n - 1$ ist die Ableitung $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π n + 1$ .

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $\sin (π n + 1)$ mit $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Schritt 7.3

Bei $x = π n + 1$ ist die Ableitung $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(π n, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(π n, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(π n, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, π n)$

Schritt 9