Analysis Beispiele

$\sin (x) + 9$

Schritt 1

Schreibe $\sin (x) + 9$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) + 9$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\cos (x) + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $\cos (x)$ und $0$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\cos (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 3.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 3.5.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \cos (x)$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \sin (x) + 9$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Schritt 6.4

Bei $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ ist die Ableitung $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Schritt 7.4

Bei $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ ist die Ableitung $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

Schritt 9