Analysis Beispiele

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

Schritt 1

Schreibe $\arctan (x^{2} - 2 x)$ als Funktion.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2.1.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Schritt 2.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

Schritt 2.1.2.5.2

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ um.

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Setze $2 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $2 x - 2$ gleich $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $2 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Dividiere $2$ durch $2$ .

$x = 1$

Schritt 3.4

Setze $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ gleich $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$1 = 0$

Schritt 3.4.2.2

Da $1 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $1$ .

$1$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

Schritt 6.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Schritt 6.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Schritt 6.2.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

Schritt 6.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.2.2.1

Mutltipliziere $2 (0) - 2$ mit $1$ .

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Schritt 6.2.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$f' (0) = - 2$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 6.3

Bei $x = 0$ ist die Ableitung $- 2$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

Schritt 7.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

Schritt 7.2.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

Schritt 7.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.2.1

Mutltipliziere $2 (2) - 2$ mit $1$ .

$f' (2) = 2 (2) - 2$

Schritt 7.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

Schritt 7.2.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$f' (2) = 2$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 7.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $2$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 1)$

Schritt 9