Analysis Beispiele

$3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} \ln (x^{2})$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.7

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$3 (x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.9

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{x}$ .

$3 (\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.11.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$3 (\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.2.11.2.5

Dividiere $2 x$ durch $1$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (2 x) + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + 6 (\ln (x^{2}) (x)) + 0$

Schritt 2.1.4.2.3

Addiere $6 x + 6 \ln (x^{2}) x$ und $0$ .

$6 x + 6 \ln (x^{2}) x$

Schritt 2.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x \ln (x^{2}) + 6 x$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ durch $6 x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ durch $6 x$ .

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 6 x}{6 x}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 (x)}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Schritt 3.3.3.2.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Schritt 3.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (x^{2}) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{- 1}$ um.

$x^{2} = e^{- 1}$

Schritt 3.6.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Schritt 3.6.3.2

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{e}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Schritt 3.6.3.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Schritt 3.6.3.4

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{e}}$ mit $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Schritt 3.6.3.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{e}}$ mit $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Schritt 3.6.3.5.2

Potenziere $\sqrt{e}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Schritt 3.6.3.5.3

Potenziere $\sqrt{e}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Schritt 3.6.3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Schritt 3.6.3.5.6

Schreibe ${\sqrt{e}}^{2}$ als $e$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e}$ als $e^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.3.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.3.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.3.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.3.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.3.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Schritt 3.6.3.5.6.5

Vereinfache.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Schritt 3.6.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Schritt 3.6.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Schritt 3.6.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze das Argument in $\ln (x^{2})$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} \leq 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 0 |$

Schritt 5.2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| x | \leq 0$

Schritt 5.2.3

Schreibe $| x | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.2.3.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 0$

Schritt 5.2.3.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.2.3.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 0$

Schritt 5.2.3.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.2.4

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x \geq 0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.5

Löse $- x \leq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2.5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2.5.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 5.2.5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \geq 0$

Schritt 5.2.5.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $x < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 5.2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = 6 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $- 1.60653067$ mit $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (- 1.60653067)$

Schritt 7.2.1.3

Vereinfache $- 9.63918402 \ln (2.58094079)$ , indem du $9.63918402$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (- 1.60653067)$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $2.58094079$ mit $9.63918402$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) + 6 (- 1.60653067)$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) - 9.63918402$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $9.63918402$ von $- \ln (9315.46036547)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 18.77861472$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 18.77861472$ .

$- 18.77861472$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1.60653067$ ist die Ableitung $- 18.77861472$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.60653067, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = 6 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Schritt 8.2.1.2

Potenziere $- 0.30326533$ mit $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (- 0.30326533)$

Schritt 8.2.1.3

Vereinfache $- 1.81959201 \ln (0.09196986)$ , indem du $1.81959201$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (- 0.30326533)$

Schritt 8.2.1.4

Potenziere $0.09196986$ mit $1.81959201$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) + 6 (- 0.30326533)$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) - 1.81959201$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $1.81959201$ von $- \ln (0.01300941)$ .

$f' (- 0.30326533) = 2.52249008$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.52249008$ .

$2.52249008$

Schritt 8.3

Bei $x = - 0.30326533$ ist die Ableitung $2.52249008$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 0.60653067, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 6 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Schritt 9.2.1.2

Potenziere $0.30326533$ mit $2$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (0.30326533)$

Schritt 9.2.1.3

Vereinfache $1.81959201 \ln (0.09196986)$ , indem du $1.81959201$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (0.30326533)$

Schritt 9.2.1.4

Potenziere $0.09196986$ mit $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 6 (0.30326533)$

Schritt 9.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 1.81959201$

Schritt 9.2.2

Addiere $\ln (0.01300941)$ und $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = - 2.52249008$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.52249008$ .

$- 2.52249008$

Schritt 9.3

Bei $x = 0.30326533$ ist die Ableitung $- 2.52249008$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 6 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Schritt 10.2.1.2

Potenziere $1.60653067$ mit $2$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (1.60653067)$

Schritt 10.2.1.3

Vereinfache $9.63918402 \ln (2.58094079)$ , indem du $9.63918402$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (1.60653067)$

Schritt 10.2.1.4

Potenziere $2.58094079$ mit $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 6 (1.60653067)$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 9.63918402$

Schritt 10.2.2

Addiere $\ln (9315.46036547)$ und $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = 18.77861472$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $18.77861472$ .

$18.77861472$

Schritt 10.3

Bei $x = 1.60653067$ ist die Ableitung $18.77861472$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Schritt 12