Analysis Beispiele

${(x - 6)}^{2} (x + 9)$

Schritt 1

Schreibe ${(x - 6)}^{2} (x + 9)$ als Funktion.

$f (x) = {(x - 6)}^{2} (x + 9)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$\frac{d}{d x} [(x - 6) (x - 6) (x + 9)]$

Schritt 2.1.2

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 6) - 6 (x - 6)) (x + 9)]$

Schritt 2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) (x + 9)]$

Schritt 2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) (x + 9)]$

Schritt 2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) (x + 9)]$

Schritt 2.1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) (x + 9)]$

Schritt 2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) (x + 9)]$

Schritt 2.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 12 x + 36) (x + 9)]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 12 x + 36$ und $g (x) = x + 9$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5

Differenziere.

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Schritt 2.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5.4.2

Mutltipliziere $x^{2} - 12 x + 36$ mit $1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36]$

Schritt 2.1.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12 x + 36$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36])$

Schritt 2.1.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36])$

Schritt 2.1.5.7

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36])$

Schritt 2.1.5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36])$

Schritt 2.1.5.9

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36])$

Schritt 2.1.5.10

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x - 12 + 0)$

Schritt 2.1.5.11

Addiere $2 x - 12$ und $0$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x - 12)$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 x + 36 + (x + 9) (2 x) + (x + 9) \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 x + 36 + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 12 x + 36 + x (2 x) + 9 (2 x) + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.6.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{2} + 18 x + x \cdot - 12 + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.6

Bringe $- 12$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{2} + 18 x - 12 \cdot x + 9 \cdot - 12$

Schritt 2.1.6.4.7

Mutltipliziere $9$ mit $- 12$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{2} + 18 x - 12 x - 108$

Schritt 2.1.6.4.8

Subtrahiere $12 x$ von $18 x$ .

$x^{2} - 12 x + 36 + 2 x^{2} + 6 x - 108$

Schritt 2.1.6.4.9

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 12 x + 36 + 6 x - 108$

Schritt 2.1.6.4.10

Addiere $- 12 x$ und $6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x + 36 - 108$

Schritt 2.1.6.4.11

Subtrahiere $108$ von $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 72$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 6 x - 72$ .

$3 x^{2} - 6 x - 72$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 6 x - 72 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 72 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 6 x - 72$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 6 x - 72 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 72 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 72$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 24 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 24 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 24$ heraus.

$3 (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (x - 6) (x + 4) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.5

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (x - 6) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 4$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $6, - 4$ .

$6, - 4$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} - 6 \cdot - 5 - 72$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 - 6 \cdot - 5 - 72$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$f' (- 5) = 75 - 6 \cdot - 5 - 72$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = 75 + 30 - 72$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $75$ und $30$ .

$f' (- 5) = 105 - 72$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $105$ .

$f' (- 5) = 33$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $33$ .

$33$

Schritt 6.3

Bei $x = - 5$ ist die Ableitung $33$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 4)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 4)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 72$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 72$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 - 72$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 - 72$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (1) = - 3 - 72$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $- 3$ .

$f' (1) = - 75$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 75$ .

$- 75$

Schritt 7.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 75$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 4, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 4, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 6 \cdot 7 - 72$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 6 \cdot 7 - 72$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$f' (7) = 147 - 6 \cdot 7 - 72$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $7$ .

$f' (7) = 147 - 42 - 72$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $42$ von $147$ .

$f' (7) = 105 - 72$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $72$ von $105$ .

$f' (7) = 33$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $33$ .

$33$

Schritt 8.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $33$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 4), (6, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 4, 6)$

Schritt 10