Analysis Beispiele

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Schritt 1

Schreibe ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ als Funktion.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.12

Kombiniere $2$ und $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.14

Kombiniere $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.2.15

Bringe ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Schritt 2.1.3.2

Addiere $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0$ .

$0$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 5.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Schritt 5.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Schritt 5.2

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Schritt 5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ als ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.2.1.6

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$27 x^{2} = 27$

Schritt 5.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 27$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 27$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Schritt 5.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 5.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Schritt 5.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Schritt 5.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.2.3.1

Dividiere $27$ durch $27$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 5.3.3.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 1, x = 1$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.3

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Schritt 7.2.3.4

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 2$ ist die Ableitung $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 1, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 8.2.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.2.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 8.2.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 8.2.2.8

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 8.2.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 8.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 8.2.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 8.2.2.11

Berechne den Exponenten.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 8.2.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.5.6

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 8.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 8.2.8

Multipliziere $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 8.2.8.2

Kombiniere $2$ und $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.4

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 8.2.8.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.8.8

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.2.9

Die endgültige Lösung ist $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 8.3

Bei $x = - \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- 1, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- 1, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 1)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9.2.2.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 9.2.2.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{4}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 9.2.2.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{4}$ an.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 9.2.2.8

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 9.2.2.9

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 9.2.2.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 9.2.2.10.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Schritt 9.2.2.11

Berechne den Exponenten.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 9.2.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Schritt 9.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5.2

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.5.6

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Schritt 9.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 9.2.8

Multipliziere $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

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Schritt 9.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.5

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 9.2.8.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.8.9

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 9.3

Bei $x = \frac{1}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 1)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 1)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(1, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.3

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Schritt 10.2.3.4

Addiere $3$ und $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.3

Bei $x = 2$ ist die Ableitung $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(1, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(1, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Schritt 12