Analysis Beispiele

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Schritt 1

Schreibe $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ als Funktion.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $136$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ nach $t$ gleich $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ als ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ um.

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.6

Da $0.25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ nach $t$ gleich $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = t - 4.5$ .

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Schritt 2.1.2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 4.5$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.10

Da $- 4.5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 4.5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.11

Addiere $1$ und $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.12

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.14

Addiere $0$ und $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.15

Mutltipliziere $0.5$ mit $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.2.16

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Schritt 2.1.3

Da $28$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $28$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Schritt 2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.2.1

Kombiniere $- 68$ und $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Schritt 2.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Schritt 2.1.4.2.3

Addiere $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ und $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Schritt 2.1.4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ um.

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.4.6.1

Schreibe ${(t - 4.5)}^{2}$ als $(t - 4.5) (t - 4.5)$ um.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.2

Multipliziere $(t - 4.5) (t - 4.5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.4.6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.4.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.4.6.3.1.1

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.3.1.2

Bringe $- 4.5$ auf die linke Seite von $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.3.1.3

Mutltipliziere $- 4.5$ mit $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.3.2

Subtrahiere $4.5 t$ von $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.6.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.5.2

Mutltipliziere $0.25$ mit $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.6

Addiere $1$ und $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.7

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ heraus.

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Schritt 2.1.4.6.7.1

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.25 t^{2}$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.7.2

Faktorisiere $0.0625$ aus $- 2.25 t$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.7.3

Faktorisiere $0.0625$ aus $6.0625$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.7.4

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.7.5

Faktorisiere $0.0625$ aus $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.8

Wende die Produktregel auf $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ an.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.6.9

Potenziere $0.0625$ mit $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.7

Faktorisiere $68$ aus $68$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.8

Faktorisiere $0.00390625$ aus $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ heraus.

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Schritt 2.1.4.9

Separiere Brüche.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Schritt 2.1.4.10

Dividiere $68$ durch $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Schritt 2.1.4.11

Kombiniere $17408$ und $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.12

Mutltipliziere $- t + 4.5$ mit $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.4.13.1

Faktorisiere $0.5$ aus $- t + 4.5$ heraus.

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Schritt 2.1.4.13.1.1

Faktorisiere $0.5$ aus $- t$ heraus.

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.13.1.2

Faktorisiere $0.5$ aus $4.5$ heraus.

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.13.1.3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ heraus.

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.13.2

Mutltipliziere $17408$ mit $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.15

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.17

Schreibe $- (2 t - 9)$ als $- 1 (2 t - 9)$ um.

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.1.4.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $t$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8704 (2 t - 9) = 0$ durch $8704$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $8704 (2 t - 9) = 0$ durch $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8704$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $2 t - 9$ durch $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 t = 9$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 t = 9$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 t = 9$ durch $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, \frac{9}{2})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $8704$ mit $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.7

Subtrahiere $126$ von $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.8

Addiere $- 77$ und $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Schritt 6.2.2.9

Potenziere $20$ mit $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 17408$ und $400$ .

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $16$ aus $- 17408$ heraus.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Schritt 6.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $400$ heraus.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Schritt 6.3

Bei $t = \frac{7}{2}$ ist die Ableitung $\frac{1088}{25}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, \frac{9}{2})$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, \frac{9}{2})$ , da $f' (t) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{9}{2}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $8704$ mit $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{11}{2}$ an.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $11$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 36$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Subtrahiere $198$ von $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Addiere $- 77$ und $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Schritt 7.2.2.9

Potenziere $20$ mit $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $17408$ und $400$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $16$ aus $17408$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $16$ aus $400$ heraus.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Schritt 7.3

Bei $t = \frac{11}{2}$ ist die Ableitung $- \frac{1088}{25}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(\frac{9}{2}, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(\frac{9}{2}, \infty)$ da $f' (t) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, \frac{9}{2})$

Abfallend im Intervall: $(\frac{9}{2}, \infty)$

Schritt 9