Analysis Beispiele

$y = \log_{6} ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log_{6} (x)$ und $g (x) = {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{6} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log_{6} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (6)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {u_{2}}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x])$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]))$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2 \cdot 1))$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} (\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2))$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren von $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2} (2 x + 2)$ um.

$\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)} ((2 x + 2) \frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2})$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Vereine die Terme

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Schritt 13.1.1

Mutltipliziere $\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ mit $\frac{1}{{(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6)}$ .

$\frac{7 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6))} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.2

Bringe ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}} \ln (6) {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.3.1

Multipliziere ${(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}$ mit ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.3.1.1

Bewege ${(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{7}{2 ({(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2}} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{7}{2}}) \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{- 5 + 7}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3.1.4

Addiere $- 5$ und $7$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{7}{2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.1.3.2

Vereinfache $2 {(x^{2} + 2 x)}^{1} \ln (6)$ .

$\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$

Schritt 13.2

Stelle die Faktoren von $\frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)} (2 x + 2)$ um.

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x^{2} + 2 x) \ln (6)}$

Schritt 13.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + 2 x) \ln (6)}$

Schritt 13.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x \cdot x + x \cdot 2) \ln (6)}$

Schritt 13.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$(2 x + 2) \frac{7}{2 (x (x + 2)) \ln (6)}$

$(2 x + 2) \frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere $2 x + 2$ mit $\frac{7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot 7}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Schritt 13.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x + 2$ und $2$ .

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Schritt 13.5.1

Faktorisiere $2$ aus $(2 x + 2) \cdot 7$ heraus.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 x (x + 2) \ln (6)}$

Schritt 13.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x (x + 2) \ln (6)$ heraus.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((x + 1) \cdot 7)}{2 ((x (x + 2)) \ln (6))}$

Schritt 13.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 1) \cdot 7}{(x (x + 2)) \ln (6)}$

Schritt 13.6

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x + 1$ .

$\frac{7 \cdot (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$

Schritt 13.7

Stelle die Faktoren in $\frac{7 (x + 1)}{x (x + 2) \ln (6)}$ um.

$\frac{7 (x + 1)}{x \ln (6) (x + 2)}$