Analysis Beispiele

$y = {(x + \frac{1}{x})}^{5}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + \frac{1}{x}$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - x^{- 2})$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$5 {(x + \frac{1}{x})}^{4} (- \frac{1}{x^{2}} + 1)$