Analysis Beispiele

$y = {(4 x^{2} - 14)}^{- 10}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 10}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 14$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 14$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 10$ .

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 14$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 14]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 14$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x + \frac{d}{d x} [- 14])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x + 0)$

Schritt 4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$- 10 {(4 x^{2} - 14)}^{- 11} (8 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ .

$\frac{- 10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Schritt 5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} (8 x)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $- 8$ und $\frac{10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ .

$\frac{- 8 \cdot 10}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $10$ .

$\frac{- 80}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}} x$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $\frac{- 80}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$ und $x$ .

$\frac{- 80 x}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{80 x}{{(4 x^{2} - 14)}^{11}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 14$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2}) - 14)}^{11}}$

Schritt 5.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2}) + 2 (- 7))}^{11}}$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- 7)$ heraus.

$- \frac{80 x}{{(2 (2 x^{2} - 7))}^{11}}$

Schritt 5.3.2

Wende die Produktregel auf $2 (2 x^{2} - 7)$ an.

$- \frac{80 x}{2^{11} {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $2$ mit $11$ .

$- \frac{80 x}{2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $2048$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80 x$ heraus.

$- \frac{16 (5 x)}{2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$

Schritt 5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $16$ aus $2048 {(2 x^{2} - 7)}^{11}$ heraus.

$- \frac{16 (5 x)}{16 (128 {(2 x^{2} - 7)}^{11})}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 (5 x)}{16 (128 {(2 x^{2} - 7)}^{11})}$

Schritt 5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 x}{128 {(2 x^{2} - 7)}^{11}}$