Analysis Beispiele

$y = \frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{2 \cdot {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 7 - 5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 {(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \cdot 1)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.8.1

Mutltipliziere ${(7 - 5 x)}^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 5.8.2

Kombiniere $4$ und $\frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$ .

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{4 (2 (7^{3} + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 49 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$\frac{4 (2 (343 + 147 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $147$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- 5 x$ an.

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 ({(- 5)}^{2} x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.7

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 (25 x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.8

Mutltipliziere $25$ mit $21$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.9

Wende die Produktregel auf $- 5 x$ an.

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5)}^{3} x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.2.10

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} - 125 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((2 \cdot 343 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache.

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Schritt 6.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $343$ .

$\frac{4 ((686 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $- 735$ mit $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.3

Mutltipliziere $525$ mit $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.4.4

Mutltipliziere $- 125$ mit $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} - 250 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (686 x - 1470 x \cdot x + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6

Vereinfache.

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Schritt 6.2.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 (x \cdot x) + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.6.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x \cdot x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x^{1} x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{1 + 2} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.3

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.6.3.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x \cdot x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 6.2.6.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x^{1} x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{1 + 3}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.6.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (686 x) + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.8

Vereinfache.

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Schritt 6.2.8.1

Mutltipliziere $686$ mit $4$ .

$\frac{2744 x + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.8.2

Mutltipliziere $- 1470$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.8.3

Mutltipliziere $1050$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.8.4

Mutltipliziere $- 250$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.9

Schreibe ${(7 - 5 x)}^{2}$ als $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ um.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} ((7 - 5 x) (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.10

Multipliziere $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 (7 - 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.11.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.11.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.11.2

Subtrahiere $35 x$ von $- 35 x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 70 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.12

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} \cdot 49 + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.13

Vereinfache.

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Schritt 6.2.13.1

Mutltipliziere $49$ mit $15$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.13.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.13.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.14.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.14.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.14.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{1 + 2} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 70$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.14.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 (x^{2} x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2 + 2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.14.4

Mutltipliziere $15$ mit $25$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.15

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2}) + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.16

Vereinfache.

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Schritt 6.2.16.1

Mutltipliziere $735$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.16.2

Mutltipliziere $- 1050$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.16.3

Mutltipliziere $375$ mit $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.17

Addiere $- 5880 x^{2}$ und $2940 x^{2}$ .

$\frac{2744 x + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.18

Subtrahiere $4200 x^{3}$ von $4200 x^{3}$ .

$\frac{2744 x - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 0 + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.19

Addiere $2744 x$ und $0$ .

$\frac{- 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.20

Addiere $- 1000 x^{4}$ und $1500 x^{4}$ .

$\frac{500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21

Schreibe $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.2.21.1

Faktorisiere $4 x$ aus $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ heraus.

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Schritt 6.2.21.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $500 x^{4}$ heraus.

$\frac{4 x (125 x^{3}) - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 2940 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $2744 x$ heraus.

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x)$ heraus.

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)$ heraus.

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x + 686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.2

Faktorisiere $125 x^{3} - 735 x + 686$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.2.21.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 686, \pm 2, \pm 343, \pm 7, \pm 98, \pm 14, \pm 49$

$q = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Schritt 6.2.21.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.008, \pm 0.2, \pm 0.04, \pm 686, \pm 5.488, \pm 137.2, \pm 27.44, \pm 2, \pm 0.016, \pm 0.4, \pm 0.08, \pm 343, \pm 2.744, \pm 68.6, \pm 13.72, \pm 7, \pm 0.056, \pm 1.4, \pm 0.28, \pm 98, \pm 0.784, \pm 19.6, \pm 3.92, \pm 14, \pm 0.112, \pm 2.8, \pm 0.56, \pm 49, \pm 0.392, \pm 9.8, \pm 1.96$

Schritt 6.2.21.2.3

Setze $1.4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1.4$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.2.21.2.3.1

Setze $1.4$ in das Polynom ein.

$125 \cdot {1.4}^{3} - 735 \cdot 1.4 + 686$

Schritt 6.2.21.2.3.2

Potenziere $1.4$ mit $3$ .

$125 \cdot 2.744 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Schritt 6.2.21.2.3.3

Mutltipliziere $125$ mit $2.744$ .

$343 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Schritt 6.2.21.2.3.4

Mutltipliziere $- 735$ mit $1.4$ .

$343 - 1029 + 686$

Schritt 6.2.21.2.3.5

Subtrahiere $1029$ von $343$ .

$- 686 + 686$

Schritt 6.2.21.2.3.6

Addiere $- 686$ und $686$ .

$0$

Schritt 6.2.21.2.4

Da $1.4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $5 x - 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{125 x^{3} - 735 x + 686}{5 x - 7}$

Schritt 6.2.21.2.5

Dividiere $125 x^{3} - 735 x + 686$ durch $5 x - 7$ .

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Schritt 6.2.21.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$5 x$

$7$

$125 x^{3}$

$0 x^{2}$

$735 x$

$686$

Schritt 6.2.21.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $125 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

					$25 x^{2}$
	$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$

Schritt 6.2.21.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			+	$125 x^{3}$	-	$175 x^{2}$

Schritt 6.2.21.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $125 x^{3} - 175 x^{2}$

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$

Schritt 6.2.21.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$

Schritt 6.2.21.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Schritt 6.2.21.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $175 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Schritt 6.2.21.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					+	$175 x^{2}$	-	$245 x$

Schritt 6.2.21.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $175 x^{2} - 245 x$

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$

Schritt 6.2.21.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$

Schritt 6.2.21.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Schritt 6.2.21.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 490 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Schritt 6.2.21.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							-	$490 x$	+	$686$

Schritt 6.2.21.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 490 x + 686$

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$

Schritt 6.2.21.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$
										$0$

Schritt 6.2.21.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$25 x^{2} + 35 x - 98$

Schritt 6.2.21.2.6

Schreibe $125 x^{3} - 735 x + 686$ als eine Menge von Faktoren.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.21.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot - 98 = - 2450$ und deren Summe gleich $b = 35$ ist.

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Schritt 6.2.21.3.1.1

Faktorisiere $35$ aus $35 x$ heraus.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 (x) - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3.1.2

Schreibe $35$ um als $- 35$ plus $70$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + (- 35 + 70) x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} - 35 x + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.21.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((25 x^{2} - 35 x) + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x (5 x - 7) + 14 (5 x - 7)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 7$ .

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((5 x - 7) (5 x + 14)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.4

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 6.2.21.4.1

Potenziere $5 x - 7$ mit $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.4.2

Potenziere $5 x - 7$ mit $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} {(5 x - 7)}^{1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1 + 1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.2.21.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x {(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(5 x - 7)}^{2}$ und ${(7 - 5 x)}^{6}$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 1 (7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 x) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{4 x {(- (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $- (- 5 x + 7)$ als $- 1 (- 5 x + 7)$ um.

$\frac{4 x {(- 1 (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.5

Wende die Produktregel auf $- 1 (- 5 x + 7)$ an.

$\frac{4 x ({(- 1)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{4 x (1 {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.7

Mutltipliziere ${(- 5 x + 7)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Schritt 6.3.8

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Schritt 6.3.9

Faktorisiere ${(- 5 x + 7)}^{2}$ aus $4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Schritt 6.3.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.10.1

Faktorisiere ${(- 5 x + 7)}^{2}$ aus ${(- 5 x + 7)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Schritt 6.3.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Schritt 6.3.10.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{4}}$