Analysis Beispiele

$y = {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{6}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 x - 5)}^{- 1}$ und $g (x) = {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{6}] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = x^{2} - 5 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} - 5 x$ .

${(2 x - 5)}^{- 1} (6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von ${(2 x - 5)}^{- 1}$ .

$6 \cdot {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x] + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5 \cdot 1) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{- 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} (2 x - 5) + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 4

Potenziere $2 x - 5$ mit $1$ .

$6 ({(2 x - 5)}^{1} {(2 x - 5)}^{- 1}) {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 {(2 x - 5)}^{1 - 1} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$6 {(2 x - 5)}^{0} {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 6.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$6 \cdot 1 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{- 1}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 5$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 8.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Schritt 8.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} (2 + 0))$

Schritt 8.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- {(2 x - 5)}^{- 2} \cdot 2)$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 {(2 x - 5)}^{- 2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- 2 \frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}})$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} \frac{- 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} + {(x^{2} - 5 x)}^{6} (- \frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}})$

Schritt 9.2.3

Kombiniere ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ und $\frac{2}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{6} \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 5 x)}^{6}$ .

$6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} - \frac{2 \cdot {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.5

Um $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}} - \frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2} - 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ aus $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6} + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ heraus.

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Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ aus $- 2 {(x^{2} - 5 x)}^{6}$ heraus.

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.1.2

Faktorisiere $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ aus $6 {(x^{2} - 5 x)}^{5} {(2 x - 5)}^{2}$ heraus.

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.1.3

Faktorisiere $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5}$ aus $2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x)) + 2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (3 {(2 x - 5)}^{2})$ heraus.

$\frac{2 {(x^{2} - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 9.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{2 {(x \cdot x - 5 x)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{2 {(x \cdot x + x \cdot - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{2 {(x (x - 5))}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.3

Wende die Produktregel auf $x (x - 5)$ an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- (x^{2} - 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} - (- 5 x) + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 {(2 x - 5)}^{2})}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.3

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 ((2 x - 5) (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.4

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.4.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 9.4.4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.4.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.4.4.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.5.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2} - 20 x + 25))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 3 (4 x^{2}) + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.7

Vereinfache.

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Schritt 9.4.4.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} + 3 (- 20 x) + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.7.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $3$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 3 \cdot 25)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.4.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (- x^{2} + 5 x + 12 x^{2} - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.5

Addiere $- x^{2}$ und $12 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} + 5 x - 60 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Schritt 9.4.6

Subtrahiere $60 x$ von $5 x$ .

$\frac{2 x^{5} {(x - 5)}^{5} (11 x^{2} - 55 x + 75)}{{(2 x - 5)}^{2}}$