Analysis Beispiele

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan^{-1} (x)$ und $g (x) = x^{2} y$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

Schritt 2.3

Stelle um.

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Schritt 2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $2 y x$ um.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} y$ an.

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ und $y$ .

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 3.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Schritt 3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$