Analysis Beispiele

$\tan (\cos (x)) + 12$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (\cos (x)) + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (\cos (x))] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (\cos (x))] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\tan (\cos (x))]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [12]$

Schritt 3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x)) + 0$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Addiere $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ und $0$ .

$\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (\cos (x)) (- \sin (x))$ um.

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$

Schritt 4.3

Schreibe $\sec (\cos (x))$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\cos (\cos (x))})}^{2} \sin (x)$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Schritt 4.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))} \sin (x)$

Schritt 4.6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos^{2} (\cos (x))}$ .

$- \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (\cos (x))}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $\cos (\cos (x))$ aus $\cos^{2} (\cos (x))$ heraus.

$- \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x)) \cos (\cos (x))}$

Schritt 4.8

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))})$

Schritt 4.9

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (\cos (x))}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 4.10

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \frac{1}{\cos (\cos (x))}))$

Schritt 4.11.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ nach $\sec (\cos (x))$ um.

$- (\frac{1}{\cos (\cos (x))} (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Schritt 4.12

Wandle von $\frac{1}{\cos (\cos (x))}$ nach $\sec (\cos (x))$ um.

$- (\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x))))$

Schritt 4.13

Multipliziere $\sec (\cos (x)) (\sin (x) \sec (\cos (x)))$ .

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Schritt 4.13.1

Potenziere $\sec (\cos (x))$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec (\cos (x)) \sin (x))$

Schritt 4.13.2

Potenziere $\sec (\cos (x))$ mit $1$ .

$- (\sec^{1} (\cos (x)) \sec^{1} (\cos (x)) \sin (x))$

Schritt 4.13.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- ({\sec (\cos (x))}^{1 + 1} \sin (x))$

Schritt 4.13.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- (\sec^{2} (\cos (x)) \sin (x))$

$- \sec^{2} (\cos (x)) \sin (x)$