Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt{x}} t^{2} d t$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Kettenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Nehme die Ableitung von $\int_{0}^{\sqrt{x}} t^{2} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{x}}^{2}$

Schritt 10

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{2}{2}}$

Schritt 10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{1}$

Schritt 10.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 13.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Schritt 13.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$