Analysis Beispiele

${(\csc (7 x - 1))}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = \csc (7 x - 1)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 7 x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + 0))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \cdot 7)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1))$

Schritt 3.6.3

Stelle die Faktoren von $- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1)$ um.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.4.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.6

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.7

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 7 (2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $\cot (7 x - 1)$ und $\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} \csc (7 x - 1)$

Schritt 4.1.10

Kombiniere $\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3}$ und $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}) \csc (7 x - 1)}{3}$

Schritt 4.1.11

Potenziere $\csc (7 x - 1)$ mit $1$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 (\csc^{1} (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}))}{3}$

Schritt 4.1.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{1 - \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.13

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3 - 1}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.15

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3}$

Schritt 4.1.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\cot (7 x - 1) \cdot 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.1.17

Bringe $14$ auf die linke Seite von $\cot (7 x - 1)$ .

$- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ um.

$- \frac{14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cot (7 x - 1)}{3}$