Analysis Beispiele

${(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{3}$ nach $y$ gleich $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [3 x z] + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 4

Da $3 x z$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x z$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} z^{3}]$ .

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Schritt 5.1

Da $z^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $y^{2} z^{3}$ nach $y$ gleich $z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + z^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $z^{3}$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + \frac{d}{d y} [11])$

Schritt 6

Da $11$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 0 + 2 z^{3} y + 0)$

Schritt 7

Vereine die Terme

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Schritt 7.1

Addiere $3 x^{2} y^{2}$ und $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y + 0)$

Schritt 7.2

Addiere $3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y$ und $0$ .

$3 {(x^{2} y^{3} + 3 x z + y^{2} z^{3} + 11)}^{2} (3 x^{2} y^{2} + 2 z^{3} y)$