Analysis Beispiele

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2} + 8$ und $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 8$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 2.4

Da $8$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 2.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{6}$ und $g (t) = 3 t - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.3

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus $2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus $2 {(3 t - 2)}^{6} t$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus $(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus ${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 t - 2) t$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 t^{2}$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 18 \cdot 8$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.2.4

Faktorisiere $2$ aus $2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.2.5

Faktorisiere $2$ aus $2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.4

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Bewege $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.6

Subtrahiere $9 t^{2}$ von $3 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.7

Faktorisiere $2$ aus $- 6 t^{2} - 2 t - 72$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 t^{2}$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $- 72$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(3 t - 2)}^{5}$ und ${(3 t - 2)}^{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus $4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Faktorisiere ${(3 t - 2)}^{5}$ aus ${(3 t - 2)}^{12}$ heraus.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 t^{2}$ heraus.

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- t$ heraus.

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 t^{2}) - (t)$ heraus.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.7

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ heraus.

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.9

Schreibe $- (3 t^{2} + t + 36)$ als $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ um.

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Schritt 5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$