Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Kettenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ gleich $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ ist mit $f (a) = a x - 2$ und $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x - 2$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.2

Da $x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $a$ gleich $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - a$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.8

Da $x^{3}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $x^{3}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- a$ nach $a$ gleich $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.11

Multipliziere.

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Schritt 3.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $a x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $a x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Addiere $- a x$ und $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $x^{3} x$ und $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$