Analysis Beispiele

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Schritt 1.2

Löse $e^{2 x} = e^{5 x}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 x = 5 x$

Schritt 1.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 5 x = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Schritt 1.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 0$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 0$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Schritt 1.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $- 3$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 0$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = e^{5 (0)}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $e^{5 (0)}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = e^{0}$

Schritt 1.3.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.4

Sei $u_{1} = 5 x$ . Dann ist $d u_{1} = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.4.1

Es sei $u_{1} = 5 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.4.1.1

Differenziere $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 3.4.1.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Schritt 3.4.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5$

Schritt 3.4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 5 x$ ein.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 5 x$ ein.

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$u_{upper} = 5$

Schritt 3.4.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Schritt 3.4.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $e^{u_{1}}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.6

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.7

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Schritt 3.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Schritt 3.9

Sei $u_{2} = 2 x$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 3.9.1

Es sei $u_{2} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 3.9.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.9.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 3.9.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 3.9.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 3.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 3.9.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Schritt 3.9.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.9.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.9.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $e^{u_{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Schritt 3.11

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 3.12

Das Integral von $e^{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Schritt 3.13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Berechne $e^{u_{1}}$ bei $5$ und $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Schritt 3.13.2

Berechne $e^{u_{2}}$ bei $2$ und $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Schritt 3.13.3

Vereinfache.

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Schritt 3.13.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Schritt 3.13.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Schritt 3.13.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Schritt 3.13.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.14.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Schritt 3.14.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Schritt 3.14.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Schritt 3.14.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Schritt 3.14.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.14.1.6

Kombiniere $e^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.14.1.7

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.14.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.14.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.14.2

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.14.3

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.14.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.14.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.14.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.14.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.14.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Schritt 3.14.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Schritt 3.14.6

Addiere $- 2$ und $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Schritt 4