Analysis Beispiele

$y = 6 - x$ , $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Ersetze alle $x$ in $y = 6 - x$ durch $\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ .

$y = 6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10})$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinfache $6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10})$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$y = 6 \cdot \frac{10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.1.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{10}{10}$ .

$y = \frac{6 \cdot 10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{6 \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{6 \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$y = \frac{60 - {(y - 6)}^{2}}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.2

Schreibe ${(y - 6)}^{2}$ als $(y - 6) (y - 6)$ um.

$y = \frac{60 - ((y - 6) (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.3

Multipliziere $(y - 6) (y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{60 - (y (y - 6) - 6 (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6))}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.2.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1.3.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.4.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.4.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 6 y$ .

$y = \frac{60 - (y^{2} - 12 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - (y^{2} - 12 y + 36)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{60 - y^{2} - (- 12 y) - 1 \cdot 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 1 \cdot 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{60 - y^{2} + 12 y - 36}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.3.7

Subtrahiere $36$ von $60$ .

$y = \frac{- y^{2} + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = \frac{- y^{2} + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.1.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y = \frac{- (y^{2}) + 12 y + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $12 y$ heraus.

$y = \frac{- (y^{2}) - (- 12 y) + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (- 12 y)$ heraus.

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y) + 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.4

Schreibe $24$ als $- 1 (- 24)$ um.

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y) - 1 \cdot - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - 12 y) - 1 (- 24)$ heraus.

$y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.1.4.6.1

Schreibe $- (y^{2} - 12 y - 24)$ als $- 1 (y^{2} - 12 y - 24)$ um.

$y = \frac{- 1 (y^{2} - 12 y - 24)}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.1.2.1.4.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2

Löse in $y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere beide Seiten mit $10$ .

$y \cdot 10 = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1.1

Bringe $10$ auf die linke Seite von $y$ .

$10 y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache $- \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10} \cdot 10$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y^{2} - 12 y - 24}{10}$ in den Zähler.

$10 y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 y = \frac{- (y^{2} - 12 y - 24)}{10} \cdot 10$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$10 y = - (y^{2} - 12 y - 24)$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - (y^{2} - 12 y - 24)$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 y = - y^{2} - (- 12 y) + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$10 y = - y^{2} + 12 y + 24$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- y^{2} + 12 y + 24 = 10 y$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.2

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.2.1

Subtrahiere $10 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} + 12 y + 24 - 10 y = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.2.2

Subtrahiere $10 y$ von $12 y$ .

$- y^{2} + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- y^{2} + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2} + 2 y + 24$ heraus.

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Schritt 1.2.3.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{2}$ heraus.

$- (y^{2}) + 2 y + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.1.3

Schreibe $24$ als $- 1 (- 24)$ um.

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2}) - (- 2 y)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 24 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 24)$ heraus.

$- (y^{2} - 2 y - 24) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y^{2} - 2 y - 24) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.3.3.2.1

Faktorisiere $y^{2} - 2 y - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((y - 6) (y + 4)) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- ((y - 6) (y + 4)) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$- (y - 6) (y + 4) = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.5

Setze $y - 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.3.5.1

Setze $y - 6$ gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.6

Setze $y + 4$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.3.6.1

Setze $y + 4$ gleich $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.2.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (y - 6) (y + 4) = 0$ wahr machen.

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6, - 4$

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$

Schritt 1.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $6$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ durch $6$ .

$x = \frac{{((6) - 6)}^{2}}{10}$

$y = 6$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache $\frac{{((6) - 6)}^{2}}{10}$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1.1.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$x = \frac{0^{2}}{10}$

$y = 6$

Schritt 1.3.2.1.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \frac{0}{10}$

$y = 6$

$x = \frac{0}{10}$

$y = 6$

Schritt 1.3.2.1.2

Dividiere $0$ durch $10$ .

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

$x = 0$

$y = 6$

Schritt 1.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 4$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{10}$ durch $- 4$ .

$x = \frac{{((- 4) - 6)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache $\frac{{((- 4) - 6)}^{2}}{10}$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.1.1.1

Subtrahiere $6$ von $- 4$ .

$x = \frac{{(- 10)}^{2}}{10}$

$y = - 4$

Schritt 1.4.2.1.1.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{100}{10}$

$y = - 4$

$x = \frac{100}{10}$

$y = - 4$

Schritt 1.4.2.1.2

Dividiere $100$ durch $10$ .

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

$x = 10$

$y = - 4$

Schritt 1.5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 6)$

$(10, - 4)$

$(0, 6)$

$(10, - 4)$

Schritt 2

Löse $y = 6 - x$ bezüglich $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $6 - x = y$ um.

$6 - x = y$

Schritt 2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = y - 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = y - 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = y - 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{y}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot y + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

$x = - y + \frac{- 6}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $- 6$ durch $- 1$ .

$x = - y + 6$

Schritt 3

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{- 4}^{6} - y + 6 d y - \int_{- 4}^{6} \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} d y$

Schritt 4

Integriere, um die Fläche zwischen $- 4$ und $6$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{- 4}^{6} - y + 6 - (\frac{{(y - 6)}^{2}}{10}) d y$

Schritt 4.2

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\int_{- 4}^{6} - y \cdot \frac{10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} + 6 d y$

Schritt 4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1

Kombiniere $- y$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{- y \cdot 10}{10} - \frac{{(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y \cdot 10 - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6 d y$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 y - {(y - 6)}^{2}}{10} + 6$

Schritt 4.4.2

Schreibe ${(y - 6)}^{2}$ als $(y - 6) (y - 6)$ um.

$\frac{- 10 y - ((y - 6) (y - 6))}{10} + 6$

Schritt 4.4.3

Multipliziere $(y - 6) (y - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 y - (y (y - 6) - 6 (y - 6))}{10} + 6$

Schritt 4.4.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 y - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6))}{10} + 6$

Schritt 4.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 y - (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Schritt 4.4.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.4.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Schritt 4.4.4.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6)}{10} + 6$

Schritt 4.4.4.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 6 y - 6 y + 36)}{10} + 6$

Schritt 4.4.4.2

Subtrahiere $6 y$ von $- 6 y$ .

$\frac{- 10 y - (y^{2} - 12 y + 36)}{10} + 6$

Schritt 4.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 10 y - y^{2} - (- 12 y) - 1 \cdot 36}{10} + 6$

Schritt 4.4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.4.6.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$\frac{- 10 y - y^{2} + 12 y - 1 \cdot 36}{10} + 6$

Schritt 4.4.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$\frac{- 10 y - y^{2} + 12 y - 36}{10} + 6$

Schritt 4.4.7

Addiere $- 10 y$ und $12 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6 d y$

Schritt 4.5

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + 6 \cdot \frac{10}{10} d y$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $6$ und $\frac{10}{10}$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36}{10} + \frac{6 \cdot 10}{10}$

Schritt 4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 6 \cdot 10}{10}$

$\int_{- 4}^{6} \frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 6 \cdot 10}{10} d y$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $6$ mit $10$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y - 36 + 60}{10}$

Schritt 4.7.2

Addiere $- 36$ und $60$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y + 24}{10}$

Schritt 4.7.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.7.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.7.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{- y^{2} + 2 (y) + 24}{10}$

Schritt 4.7.3.1.2

Schreibe $2$ um als $- 4$ plus $6$

$\frac{- y^{2} + (- 4 + 6) y + 24}{10}$

Schritt 4.7.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- y^{2} - 4 y + 6 y + 24}{10}$

Schritt 4.7.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.7.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- y^{2} - 4 y) + 6 y + 24}{10}$

Schritt 4.7.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{y (- y - 4) - 6 (- y - 4)}{10}$

Schritt 4.7.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- y - 4$ .

$\frac{(- y - 4) (y - 6)}{10}$

$\int_{- 4}^{6} \frac{(- y - 4) (y - 6)}{10} d y$

Schritt 4.8

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(- (y) - 4) (y - 6)}{10}$

Schritt 4.8.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$\frac{(- (y) - 1 (4)) (y - 6)}{10}$

Schritt 4.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (4)$ heraus.

$\frac{- (y + 4) (y - 6)}{10}$

Schritt 4.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.4.1

Schreibe $- (y + 4)$ als $- 1 (y + 4)$ um.

$\frac{- 1 (y + 4) (y - 6)}{10}$

Schritt 4.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(y + 4) (y - 6)}{10}$

$\int_{- 4}^{6} - \frac{(y + 4) (y - 6)}{10} d y$

Schritt 4.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{- 4}^{6} \frac{(y + 4) (y - 6)}{10} d y$

Schritt 4.10

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{10}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} (y + 4) (y - 6) d y)$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y (y - 6) + 4 (y - 6) d y$

Schritt 4.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y + y \cdot - 6 + 4 (y - 6) d y$

Schritt 4.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y + y \cdot - 6 + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.4

Stelle $y$ und $- 6$ um.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y \cdot y - 6 \cdot y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1} y - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1} y^{1} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{1 + 1} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.8

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 6 y + 4 y + 4 \cdot - 6 d y$

Schritt 4.11.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 6 y + 4 y - 24 d y$

Schritt 4.11.10

Addiere $- 6 y$ und $4 y$ .

$- \frac{1}{10} \int_{- 4}^{6} y^{2} - 2 y - 24 d y$

Schritt 4.12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{10} (\int_{- 4}^{6} y^{2} d y + \int_{- 4}^{6} - 2 y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} + \int_{- 4}^{6} - 2 y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.14

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 \int_{- 4}^{6} y d y + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.16

Vereinfache.

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Schritt 4.16.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.16.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} - 24 d y)$

Schritt 4.17

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + - 24 y]_{- 4}^{6})$

Schritt 4.18

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.18.1

Kombiniere $\frac{y^{3}}{3}]_{- 4}^{6}$ und $- 24 y]_{- 4}^{6}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{y^{3}}{3} - 24 y]_{- 4}^{6} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}))$

Schritt 4.18.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.18.2.1

Berechne $\frac{y^{3}}{3} - 24 y$ bei $6$ und $- 4$ .

$- \frac{1}{10} ((\frac{6^{3}}{3} - 24 \cdot 6) - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{6}))$

Schritt 4.18.2.2

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $6$ und $- 4$ .

$- \frac{1}{10} ((\frac{6^{3}}{3} - 24 \cdot 6) - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.18.2.3.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{216}{3} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $216$ und $3$ .

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Schritt 4.18.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $216$ heraus.

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{10} (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{10} (\frac{72}{1} - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.2.2.4

Dividiere $72$ durch $1$ .

$- \frac{1}{10} (72 - 24 \cdot 6 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $6$ .

$- \frac{1}{10} (72 - 144 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.4

Subtrahiere $144$ von $72$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (\frac{{(- 4)}^{3}}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.5

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (\frac{- 64}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} - 24 \cdot - 4) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.7

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 4$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + 96) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.8

Um $96$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.9

Kombiniere $96$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - (- \frac{64}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{- 64 + 96 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.2.3.11.1

Mutltipliziere $96$ mit $3$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{- 64 + 288}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.11.2

Addiere $- 64$ und $288$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.12

Um $- 72$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- 72 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.13

Kombiniere $- 72$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 72 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{10} (\frac{- 72 \cdot 3 - 224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.15

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.2.3.15.1

Mutltipliziere $- 72$ mit $3$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 216 - 224}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.15.2

Subtrahiere $224$ von $- 216$ .

$- \frac{1}{10} (\frac{- 440}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.17

Potenziere $6$ mit $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 4.18.2.3.18.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.2.3.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.18.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.19

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{16}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 4.18.2.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2}))$

Schritt 4.18.2.3.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.2.3.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}))$

Schritt 4.18.2.3.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}))$

Schritt 4.18.2.3.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - \frac{8}{1}))$

Schritt 4.18.2.3.20.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - 1 \cdot 8))$

Schritt 4.18.2.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 (18 - 8))$

Schritt 4.18.2.3.22

Subtrahiere $8$ von $18$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 2 \cdot 10)$

Schritt 4.18.2.3.23

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 20)$

Schritt 4.18.2.3.24

Um $- 20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 4.18.2.3.25

Kombiniere $- 20$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{10} (- \frac{440}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3})$

Schritt 4.18.2.3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 440 - 20 \cdot 3}{3}$

Schritt 4.18.2.3.27

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.2.3.27.1

Mutltipliziere $- 20$ mit $3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 440 - 60}{3}$

Schritt 4.18.2.3.27.2

Subtrahiere $60$ von $- 440$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 500}{3}$

Schritt 4.18.2.3.28

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10} (- \frac{500}{3})$

Schritt 4.18.2.3.29

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{10}) \frac{500}{3}$

Schritt 4.18.2.3.30

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{500}{3}$

Schritt 4.18.2.3.31

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{500}{3}$ .

$\frac{500}{10 \cdot 3}$

Schritt 4.18.2.3.32

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{500}{30}$

Schritt 4.18.2.3.33

Kürze den gemeinsamen Teiler von $500$ und $30$ .

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Schritt 4.18.2.3.33.1

Faktorisiere $10$ aus $500$ heraus.

$\frac{10 (50)}{30}$

Schritt 4.18.2.3.33.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.18.2.3.33.2.1

Faktorisiere $10$ aus $30$ heraus.

$\frac{10 \cdot 50}{10 \cdot 3}$

Schritt 4.18.2.3.33.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \cdot 50}{10 \cdot 3}$

Schritt 4.18.2.3.33.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{50}{3}$

Schritt 5