Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Löse $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Schritt 1.2.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

Schritt 1.2.1.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.1.5

Das kgV von $1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.1.6

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x = x$

Schritt 1.2.1.7

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

Schritt 1.2.1.8

Das kgV von $x^{1}, x^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.1.9

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ mit $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 1$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 1$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Setze $1$ für $x$ in $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $\frac{1}{1^{2}}$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{1}{1}$

Schritt 1.3.2.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$y = 1$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(1, 1)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $1$ und $2$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Schritt 3.2

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 3.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 3.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 3.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.8.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.8.1.1

Berechne $\ln (| x |)$ bei $2$ und $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 3.8.1.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Schritt 3.8.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 3.8.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 3.8.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 3.8.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 3.8.1.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.3

Vereinfache.

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Schritt 3.8.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Schritt 4