Analysis Beispiele

$y = 5 \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$5 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 1.2

Löse $5 \sqrt[3]{x} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Vereinfache ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$125 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Vereinfache.

$125 x = 0^{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$125 x = 0$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $125 x = 0$ durch $125$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $125 x = 0$ durch $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{125}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $125$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $0$ .

$y = 0$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(0, 0)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $1$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} - (0) d x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $0$ von $5 \sqrt[3]{x}$ .

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Schritt 3.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Schritt 3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1})$

Schritt 3.6

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{1})$

Schritt 3.6.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.6.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Schritt 3.6.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Schritt 3.6.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{4})$

Schritt 3.6.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Schritt 3.6.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.2.2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 3.6.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 3.6.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.6.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - 0)$

Schritt 3.6.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{3}{4} + 0)$

Schritt 3.6.2.2.10

Addiere $\frac{3}{4}$ und $0$ .

$5 (\frac{3}{4})$

Schritt 3.6.2.2.11

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{4}$

Schritt 3.6.2.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{4}$

Schritt 4