Analysis Beispiele

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$8 = \sqrt{x}$

Schritt 1.2

Löse $8 = \sqrt{x}$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x} = 8$ um.

$\sqrt{x} = 8$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 8^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x = 8^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$x = 64$

Schritt 1.3

Berechne $y$ bei $x = 64$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze $x$ durch $64$ .

$y = \sqrt{64}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache $\sqrt{64}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{64}$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 8$

Schritt 1.4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(64, 8)$

Schritt 2

Die Fläche des Bereichs zwischen den Kurven ist definiert als das Integral der oberen Kurve minus dem Integral der unteren Kurve in jedem Abschnitt. Die Abschnitte werden durch die Schnittpunkte der Kurven bestimmt. Dies kann algebraisch oder graphisch erfolgen.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $64$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Integriere, um die Fläche zwischen $0$ und $64$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1.1

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Schritt 3.1.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Schritt 3.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Schritt 3.1.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Schritt 3.1.6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.7.1

Kombiniere $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ und $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Schritt 3.1.7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1.7.2.1

Berechne $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ bei $64$ und $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.7.2.2.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.4

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.8

Um $- 512$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.9

Kombiniere $- 512$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.2.2.11.1

Mutltipliziere $- 512$ mit $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.11.2

Subtrahiere $1536$ von $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.13

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.14

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.2.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.15.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.16

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.18

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Schritt 3.1.7.2.2.19

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Schritt 3.1.7.2.2.20

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Schritt 3.1.7.2.2.21

Addiere $- \frac{512}{3}$ und $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Schritt 3.2

Kombiniere die Integrale zu einem einzigen Integral.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Schritt 3.3

Multipliziere $- 1$ mit $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Schritt 3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Schritt 3.5

Wende die Konstantenregel an.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Schritt 3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Schritt 3.7

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Schritt 3.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Schritt 3.9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.9.2.1

Berechne $8 x$ bei $64$ und $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Schritt 3.9.2.2

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $64$ und $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.9.2.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.3

Addiere $512$ und $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.4

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.7

Potenziere $8$ mit $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.9

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.10

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.9.2.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Schritt 3.9.2.3.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Schritt 3.9.2.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 3.9.2.3.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 3.9.2.3.14.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 3.9.2.3.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.9.2.3.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 3.9.2.3.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 3.9.2.3.14.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Schritt 3.9.2.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Schritt 3.9.2.3.16

Addiere $\frac{1024}{3}$ und $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Schritt 3.9.2.3.17

Um $512$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Schritt 3.9.2.3.18

Kombiniere $512$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Schritt 3.9.2.3.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Schritt 3.9.2.3.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.2.3.20.1

Mutltipliziere $512$ mit $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Schritt 3.9.2.3.20.2

Subtrahiere $1024$ von $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Schritt 4