Analysis Beispiele

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = 10$

Schritt 1

Löse durch Einsetzen (Substitution), um den Schnittpunkt von beiden Kurven zu ermitteln.

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Schritt 1.1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$3 x - x^{2} = 10$

Schritt 1.2

Löse $3 x - x^{2} = 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - x^{2} - 10 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 10$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 3$ und $c = - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1} + y = 10$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $40$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $40$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $40$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $- 31$ als $- 1 (31)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (31)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 1.3

Ersetze $x$ durch $\frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$ .

$y = 10$

Schritt 1.4

Liste alle Lösungen auf.

$y = 10, x = \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

$y = 10, x = \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}$

$y = 10, x = \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

$y = 10, x = \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}$

Schritt 2

Die Fläche zwischen den gegebenen Kurven ist unbegrenzt.

Unbegrenzte Fläche

Schritt 3